망원급수(Telescoping Series): 연쇄 상쇄의 마법
📅 최초 작성: 2025년 1월 8일
🔄 최종 업데이트: 2025년 1월 8일 20:00 (KST)
✨ 최근 변경사항: 망원급수 개념 설명 및 DDPM 적용 예시 추가
📝 망원급수란?
망원급수(Telescoping Series)는 연속된 항들이 서로 상쇄되어 대부분의 중간 항들이 사라지고, 처음과 마지막 항만 남는 특별한 형태의 급수입니다. 마치 망원경이 접히면서 길이가 줄어드는 것처럼 급수가 축약되어 이런 이름이 붙었습니다.
🔭 기본 개념과 원리
일반적인 형태
\[\sum_{k=1}^n (a_k - a_{k+1}) = a_1 - a_{n+1}\]또는
\[\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{f(k)} - \frac{1}{f(k+1)}\right) = \frac{1}{f(1)} - \frac{1}{f(n+1)}\]작동 원리
연속된 항들을 전개하면: \(\begin{align} &(a_1 - a_2) + (a_2 - a_3) + (a_3 - a_4) + \cdots + (a_n - a_{n+1})\\ &= a_1 - \cancel{a_2} + \cancel{a_2} - \cancel{a_3} + \cancel{a_3} - \cancel{a_4} + \cdots + \cancel{a_n} - a_{n+1}\\ &= a_1 - a_{n+1} \end{align}\)
🔑 핵심: 중간 항들이 +와 -로 쌍을 이루어 모두 상쇄되고, 처음과 마지막 항만 남습니다.
📊 간단한 예시들
예시 1: 기본적인 망원급수
\[\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)\]전개: \(\begin{align} &\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)\\ &= 1 - \cancel{\frac{1}{2}} + \cancel{\frac{1}{2}} - \cancel{\frac{1}{3}} + \cancel{\frac{1}{3}} - \cancel{\frac{1}{4}} + \cdots + \cancel{\frac{1}{n}} - \frac{1}{n+1}\\ &= 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \end{align}\)
예시 2: 부분분수 분해 활용
\[\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}\]부분분수 분해: $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$
따라서: \(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}\)
🧮 로그 형태의 망원급수
기본 형태
\[\sum_{k=1}^n \log\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}\right) = \log\left(\frac{a_1}{a_{n+1}}\right)\]증명: \(\begin{align} \sum_{k=1}^n \log\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}\right) &= \sum_{k=1}^n (\log a_k - \log a_{k+1})\\ &= (\log a_1 - \cancel{\log a_2}) + (\cancel{\log a_2} - \cancel{\log a_3}) + \cdots + (\cancel{\log a_n} - \log a_{n+1})\\ &= \log a_1 - \log a_{n+1}\\ &= \log\left(\frac{a_1}{a_{n+1}}\right) \end{align}\)
🎯 DDPM에서의 적용
DDPM의 변분 경계 변형에서 망원급수가 핵심적으로 사용됩니다:
\[\sum_{t=1}^T \log \frac{q(x_{t-1}|x_0)}{q(x_t|x_0)}\]이 합을 전개하면:
\[\begin{align} &\log \frac{q(x_0|x_0)}{q(x_1|x_0)} + \log \frac{q(x_1|x_0)}{q(x_2|x_0)} + \log \frac{q(x_2|x_0)}{q(x_3|x_0)} + \cdots + \log \frac{q(x_{T-1}|x_0)}{q(x_T|x_0)}\\ &= \log q(x_0|x_0) - \cancel{\log q(x_1|x_0)} + \cancel{\log q(x_1|x_0)} - \cancel{\log q(x_2|x_0)} + \cdots + \cancel{\log q(x_{T-1}|x_0)} - \log q(x_T|x_0)\\ &= \log q(x_0|x_0) - \log q(x_T|x_0)\\ &= \log 1 - \log q(x_T|x_0)\\ &= -\log q(x_T|x_0) \end{align}\]| 🔑 핵심: $q(x_0 | x_0) = 1$ (자기 자신에 대한 확률은 1)이므로 최종적으로 $-\log q(x_T | x_0)$만 남습니다. |
💡 망원급수 식별법
다음과 같은 형태를 발견하면 망원급수를 의심해보세요:
- 연속적인 차이: $a_k - a_{k+1}$ 형태
- 연속적인 비율: $\frac{a_k}{a_{k+1}}$ 형태
- 부분분수: $\frac{1}{f(k)} - \frac{1}{f(k+1)}$ 형태
- 로그 차이: $\log a_k - \log a_{k+1}$ 형태
🎲 실전 활용 팁
부분분수 분해 전략
복잡한 분수를 망원급수로 만들기 위해 부분분수 분해를 활용:
\[\frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}\]$A = 1, B = -1$이므로: \(\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\)
일반화된 형태
\[\frac{1}{(n+a)(n+b)} = \frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{n+a} - \frac{1}{n+b}\right) \quad (a \neq b)\]🏆 망원급수의 장점
- 계산 간소화: 복잡한 급수 → 단순한 차이
- 정확한 값: 근사가 아닌 정확한 닫힌 형태
- 일반화 가능: 유한급수에서 무한급수로 확장
- 직관적 이해: 시각적으로 상쇄 과정 파악 가능
🔗 관련 개념들
망원급수는 복잡해 보이는 합을 단순한 형태로 바꾸는 강력한 도구입니다. 특히 확률론과 통계학에서 자주 등장하므로, 패턴을 익혀두면 매우 유용합니다!
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